Задачи по механика с решения (1 част)

1. задача

Спряла на светофар лека кола започва да се движи с постоянно ускорение 2 m/s². В същия момент камион, който се движи с постоянна скорост от 11 m/s, изпреварва колата. На какво разстояние след светофара колата ще настигне  камиона? За колко време това ще се случи?

Дадено:                     Търси се:

v_o = 0                                       s =?

a = 2 m/s²                              t =?

v = 11 m/s

Решение:

Двете превозни средства (кола и камион) след светофара за еднакво време t изминават едно и също разстояние s. Камионът се движи равномерно, а колата равноускорително без начална скорост.

Това ни дава право да запишем следното:

s = v . t (пътя на камиона) и s = a . t²/2 (пътя на колата)

v  t  = a . t²/2

(заместваме и съкращаваме)

t = 11 s

(времето, за което колата ще настигне камиона)

s = v . t = 11.11 = 121 m

(пътя изминат от превозните средства до срещата)

2. задача

Да приемем, че космическият кораб е на орбита с височина h около 280 km над повърхността на Земята и че земния радиус R е 6340 km. Ако средната скорост на космически кораб е 32 000 km / h, колко време е необходимо за една обиколка на Земята. 

Дадено: h = 280 km, R = 6340 km, v = 32 000 km / h          Търси се: t = ?  

Решение:

Корабът се движи приблизително по кръгова орбита, чийто радиус е:

r = R + h = 6340 + 280 = 6620 km

s = 2π R = 6,28. 6620 = 41 573,6 km

t = s / v = 41 573,6 km / 32 000 km/h = 1,299 = 1,3 h

3.задача

В определен момент, превозното средство А е на 10 km, западно от кръстовището, а превозното средство B е 12 km, източно от същото кръстовище. Превознитте средства се движат към кръстовището с постоянна скорост, съответно А със скорост 25 km/h, а B със скорост 40 km/h. Какво ще бъде разстоянието между кръстовището и мястото на срещата на превозните средства?

Решение:

Времето t за движение на превозните средства до мястото на срещата е еднакво, за което те ще изминат различни пътища s₁ и s₂.  Това ни дава основание да запишем:

t = s₁ / v₁ = s₂/ v₂

Съставяме система от 2 уравнения:

s₁. v₂ = s₂.v₁

s₁ + s₂ = 22 km

От второто уравнение изключваме s₁ = 22 - s₂, заместваме във първото. Заместваме с числените стойности и получаваме:

(22 - s₂ ). v₂ = s₂.v₁

880 = 65 s₂

s₂= 13,5 km, s₁ = 8,5 km

Търсеното разстояние е: s = 10 – 8,5 = 1,5 km, западно от кръстовището.

4. задача

Една дама бута с хоризонтална сила 8 N детска количка, чиято маса е 10 kg.  

(1) Какво разстояние ще измине количката за 5s, ако тръгва от състояние на покой.

(2) Какво разстояние ще измине количката за 5 s, ако жената е поставила в нея своето бебе, което тежи 3 kg, преди да започне бутането?

Решение:

(1). Използваме F = ma, за да намерите ускорение a на количката.
8 = 10 . a              a = 0,8 m/s²

Изминатото разстояние е:

s = 0 + ½. 0,8 . 5² = 10 m

(2). При втората ситуация общата маса (количка + бебе) е:

 m = 10 + 3 = 13 кг

Намираме ускорението a отново чрез ІІ принцип на механиката:
F = ma,        8 = 13 .a 

a = 8 / 13 = 0,62 m/s²

Изминатото разстояние е:

s = 0 + ½. 0,62 .5² = 7.8 m 

5. задача

Куршум е изстрелян от пушка и напуска нейното дуло със скорост 400 m/s. Колко нютона е силата, действала върху куршума по време на пътуването през цевта, която е дълга 0,8 m. Приемаме, че масата на куршума е 5 g и че действащата сила е постоянна.

Решение:

Начална скорост на куршума v_о = 0, движението е равноускорително.

От уравнението s = (v² – v²_о )/2a,       а =  v²/2s 

намираме ускорението на куршума:

а =  (400²)/2.0,8 = 100 000 m/s²

Накрая използваме ІІ принцип на Нютон за куршума:

F = m. а = 0,005 kg . 100 000 m/s² = 500 N

Сила действаща на куршума, докато е в цевта има големина 500 N.